که عنصر ماتریسی گشتاور دو قطبی بین نواری در است. با توجه به نتایج بالا رابطه (۲-۱۸) را می‌توان به صورت زیر ساده نمود
(۲-۲۲)
سرانجام عبارت زیر برای عناصر ماتریسی نتیجه می‌شود
( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۲-۲۳)
که در آن
(۲-۲۴)
که حالت الکترون (حفره) را نشان میدهد. خلق یک زوج الکترون-حفره ناشی از گذار بین نواری را نشان داده که طی این فرایند فوتون فرودی با انرژی از بین رفته است.
با به‌کارگیری روش بالا، عناصر ماتریسی هامیلتونی برهمکنش با میدان تابشی ثانویه را می‌توان به صورت زیر نوشت
(۲-۲۵)
در روش مشابه خواهیم داشت:
(۲-۲۶)
رابطه بالا به صورت زیر ساده‌تر می‌شود
(۲-۲۷)
از آنجا که بازه انتگرال‌گیری کاملا متقارن بوده و عملگری فرد بین توابعی با پاریته یکسان قرار گرفته است، جمع دوم صفر است. با توجه به این‌که توابع بلوخ متعامد بهنجار می‌باشند، انتگرا موجود در جمع اول برابر با واحد بوده و در نتیجه داریم
(۲-۲۸)
با توجه به توابع موج محاسبه شده عبارت نهایی زیر حاصل می‌شود
(۲-۲۹)
(۲-۳۰)
(۲-۳۱)
عبارت بالا گذار بین زیر نوارها را نشان میدهد. در این حالت فوتونی از تابش ثانویه با انرژی خلق می‌شود. در محاسبات، از بردار موج فوتون در مقایسه با بردار موج الکترون صرفه‌نظر می شود. بنابراین در حالت نهایی داریم .
حال با توجه به این‌که
(۲-۳۲)
ما سه سهم مختلف در محاسبه سطح مقطع پراکندگی داریم. بعد از جایگذاری رابطه های (۲-۲۳) و (۲-۲۹) در رابطه (۲-۳) خواهیم داشت
(۲-۳۳)
که در آن
(۲-۳۴)
و
(۲-۳۵)
با جایگذاری روابط بالا در رابطه (۲-۱)، سطح مقطع دیفرانسیلی برای پراکندگی رامان را به صورت زیر به‌دست می‌آوریم
(۲-۳۶)
در رابطه بالا به صورت زیر میباشد
(۲-۳۷)
با توجه به
(۲-۳۸)
خواهیم داشت:
(۲-۳۹)
که سهم های مختلف در سطح مقطع دیفرانسیلی به صورتهای زیر تعریف میشوند
(۲-۴۰)
(۲-۴۱)
و
(۲-۴۲)
های مختلف در روابط بالا به صورت زیر هستند
(۲-۴۳)
(۲-۴۴)
(۲-۴۵)
همچنین برای و ها داریم
(۲-۴۶)
در سطح مقطع دیفرانسیلی به صورت زیر تعریف می شود
(۲-۴۷)
اگر جرم مؤثر الکترون با جرم مؤثر حفره تفاوت داشته باشد از سهم قطبش در مقایسه با سهم یا می‌توان چشم‌پوشی نمود.
بایستی توجه نمود که جمع روی زیر نوارها می‌بایست شرط زیر را ارضا نماید
(۲-۴۸)
بنابراین، سطح مقطع دیفرانسیلی چاه کوانتمی نیمرسانا دارای قله‌های تکینه برای فرکاس تابشی ثانویه بوده به‌طوری‌که
(۲-۴۹)
(۲-۵۰)
(۲-۵۱)
