در شکل ۲-۲ حالت دو بعدی چنین شبکه ای نشان داده شده است. در یک میدان متناوب خارجی، پتانسیل الکترواستاتیکی توسط این مدار تعیین میشود و این پتانسیل به نوبهی خود جریانهای بارهای آزاد را که از طریق مقاومتها حرکت می کنند، مشخص می کند. واضح است که خازنها منجر به وابستگی رسانش ظاهری کل مدار به فرکانس شده و وابستگی جریان بارهای آزاد به فرکانس تنها به علت اثر غیر مستقیم خازنها، بدلیل تأثیری که آنها روی پتانسیل گرهها میگذارند، خواهد بود. در یک جامد واقعی بارهای آزاد در مکانهای معینی تجمع می کنند. نقش خازنها در شکل ۲-۲ دقیقاً جبران کننده این تجمع بارهای آزاد است، بطوریکه هیچ تجمع باری در گرهها وجود نداشته باشد.
شکل ۲‑۲: مدارRC معادل، حاصل از گسسته سازی معادله ۲-۱۲٫ همگی خازنها یکسان و متناسب با ثابت دی الکتریک بارهای مقید میباشند. در حالیکه هر مقاومت، با معکوس رسانندگی موضعی بارهای آزاد، که وابسته به مکان است، متناسب میباشد[۶۲].
۲-۲-۱ بدست آوردن رسانندگی مؤثر وابسته به فرکانس بارهای آزاد
رسانندگی ماکروسکوپیک وابسته به فرکانس بارهای آزاد، ، را میتوان از طریق رسانش ظاهری کل مدار، ، بدست آورد.
برای حالت بعدی، تعداد نقاط شبکه مکعبی، و طول آن است. چنانچه دو وجه مقابل شبکه را به الکترودهایی متصل کنیم و به آنها اختلاف پتانسیل معین اعمال کنیم، جریان حاصل بین الکترودها با رابطه زیر داده می شود:
( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۲-۱۹)
برای محاسبهی رسانندگی مؤثر بارهای آزاد، باید سهم مربوط به جریانهای خازنی را از کم کنیم. بین الکترودها، لایهی خازن-مقاومت داریم که جریان کل ، در همه این لایه ها یکسان میباشد. بنابراین جمع جریانهای خازن و مقاومت در جهت عمود بر الکترودها بصورت زیر میشود.
(۲-۲۰)
جمع جریانهای خازنی را میتوان بشکل جمله، که هر جمله آن یک جمع یک بعدی در راستای میدان است، نوشت:
(۲-۲۱)
بنابراین معادله (۲-۱۵) بصورت زیر باز نویسی می شود:
(۲-۲۲)
رسانندگی مؤثر بارهای آزاد بصورت میانگین چگالی بارهای آزاد،
(۲-۲۳)
به میانگین میدان الکتریکی،
(۲-۲۴)
تعریف می شود. بنابراین با بهره گرفتن از معادله (۲-۲۲) خواهیم داشت:
(۲-۲۵)
که در حالت حدی ، معادله بالا بصورت زیر درمیآید:
(۲-۲۶)
۲-۳ گسسته سازی معادله رسانش با بهره گرفتن از روش حجم محدود[۶۱]
برای گسسته سازی معادله ، از روش حجم محدود استفاده میکنیم. این روش بر اساس قوانین پایستگی و انتگرال گیری از معادلات پیوستگی قرار دارد. برای این کار ابتدا از دو طرف معادله مذکور، (۲-۱۲)، روی حجم سیستم انتگرال گرفته و سپس با بهره گرفتن از قضیهی دیورژانس، انتگرال حجمی را به انتگرال سطحی تبدیل میکنیم.
برای هر بلوک اولیه مربعی داریم:
(۲-۲۷)
که در یک شبکه دو بعدی ، سطح مربع اولیه و محیط آن میباشد. معادله دوم در رابطه (۲-۲۷) بیانگر این مطلب است که، مجموع جریان خالص هر بلوک شبکه برابر صفر است. یعنی شار کل ورودی به هر بلوک برابر با شار کل خروجی از آن خواهد بود.
شار خالص هر بلوک شبکه برابر است با جمع انتگرالها روی هر چهار وجه آن:
(۲-۲۸)
که بردار شار در جهت عمود بر وجه میباشد . با توجه به قانون پیوستگی جریان، برای هر بلوک از شبکه داریم:
(۲-۲۹)
بنابراین با توجه به رابطه ۲-۲۹ و شکل (۲-۳) خواهیم داشت :
(۲-۳۰)
شکل ۲‑۳: نمایی از گسسته سازی شبکه به بلوکهای مربعی و ارتباط هر بلوک با همسایههای مجاورش.
که جملات این رابطه بصورت زیر میباشد.
(۲-۳۱)
که در این روابط است و رسانش بین بلوک ها با روابط زیر داده می شود:
(۲-۳۲)
برای حل معادله بدست آمده میتوان هر شرایط مرزی استانداردی را در نظر گرفت. به این صورت که برای هر وجه مقابل شبکه، در یک راستا اختلاف پتانسیل ثابت و در راستای دیگر شرایط مرزی تناوبی در نظر گرفته می شود. شرایط مرزی که ما در اینجا در نظر گرفتهایم به این صورت میباشد که، در امتداد طول سطح شرایط مرزی تناوبی در نظر گرفته شده و در راستای رشد سطح (رشد ارتفاع) اختلاف پتانسیل ثابت را به صورت زیر اعمال کردهایم:
(۲-۳۳)
که در آن پتانسیل زیر لایه، با مقدار صفر و پتانسیل الکترود متصل به بیشینه ارتفاع سطوح رشد یافته، با مقدار ۱۰۰ است. همچنین مقادیر رسانندگی موضعی هر بلوک از شبکه، ها، به این صورت در نظر گرفته شده است که به خانههای حاوی ذره مقدار و به خانههای فاقد ذره مقدار را نسبت دادهایم. با در نظر گرفتن این شرایط و نوشتن معادله (۲-۳۰) برای تک تک بلوکهای شبکه، یک دستگاه معادلات خطی برای پتانسیل شبکه بدست می آید که بصورت زیر بیان می شود:
(۲-۳۴)
که در آن یک ماتریس ستونی است که عناصر آن پتانسیل در تمام نقاط شبکه میباشد و ماتریس مجهولات معادلات است. ماتریس ستونی است که به شرایط مرزی و در واقع نیروی محرکهی[۶۲] مربوط بوده و یک ماتریس اسپارس[۶۳] است که به هندسه شبکه بستگی داشته و در واقع ماتریس ضرایب است. برای حل دستگاه معادلات خطی روشهای متعددی وجود دارد. در اینجا ما از یک روش تکرار که برای حل معادلات اسپارس از کارایی و سرعت بسیار بالایی برخوردار است استفاده میکنیم. در ادامه، قبل از حل معادلات، ابتدا توضیح مختصری پیرامون دستگاه معادلات خطی اسپارس ارائه شده است.
۲-۴ دستگاه های خطی اسپارس
اگر در یک دستگاه معادلات خطی تنها تعداد نسبتاً کمی از عناصر ماتریس ضرایب غیر صفر باشند، دستگاه معادلات خطی اسپارس نامیده می شود. استفاده از روشهای معمولی جبر خطی در حل اینگونه مسائل، بی فایده است. چرا که بیشتر عملیات جبری که به حل مجموعه معادلات یا معکوس کردن ماتریس می پردازند، شامل عملوند[۶۴]های صفر هستند. گذشته از این، ممکن است بخواهیم روی مسائل بزرگی کار کنیم که به تمام حافظه رایانه احتیاج داشته باشند، که در این صورت اختصاص حافظه به عناصر صفر باعث تلف شدن آن خواهد شد. بنابراین در این گونه از مسائل، دو دلیل مجزا برای استفاده از ماتریس اسپارس وجود دارد: صرفه جویی در زمان و صرفه جویی در حافظه. روش های حل مستقیم معادلات اسپارس به الگوی دقیق پراکندگی عناصر ماتریس بستگی دارد. الگوهایی که معمولاً اتفاق میافتند یا به عنوان میانجی برای اختصار فرم های عمومیتر به کار میروند، نامهای خاص و روشهای حل مخصوص به خود دارند. مانند ماتریس اسپارس قطری نواری[۶۵] ، بلوک مثلثی[۶۶] و بلوک سه قطری[۶۷] که میتوانند در یک فرمت فشرده که بیشتر فضا را فقط به عناصر غیر صفر اختصاص می دهد، ذخیره شوند ( شکل۲-۴).
برای یک ماتریس اسپارس کلی با سایز که فقط چند برابر مقدار ، عناصر غیر صفر دارد، معمولا به صورت فیزیکی غیر ممکن یا بی فایده است که فضایی را به تمام عنصر اختصاص دهیم. پس به طرحهای ذخیره سازی اندیس[۶۸] نیازمندیم تا بتوانیم عناصر غیر صفر را به همراه اطلاعات کافی برای مشخص کردن مکان عناصر در داخل ماتریس اسپارس، ذخیره کنیم[۶۴].
ماتریس اسپارسی که در این رساله تولید شده دارای طرح نشان داده شده در شکل ۲-۵ است و برای ذخیره سازی مقدار و مکان عناصر غیر صفر از سه آرایه یک بعدی که هر کدام به ترتیب مقدار، شماره سطر و شماره ستون عناصر غیر صفر را ذخیره می کنند، استفاده شده است. همچنین برای حل دستگاه معادلات خطی از روش گرادیان مزدوج دوگانه[۶۹]استفاده شده است.
(الف)
(ج)
(ب)
شکل ۲‑۴: ماتریس اسپارس (الف) قطری نواری، (ب) بلوک مثلثی و (ج) بلوک سه قطری.
