۲-۲-۳ رابطه بین روش­های MRAC و ST
در سیستمهای MRAC پارامترها جهت مینیمم سازی خطاهای ردیابی بین خروجی طرح و خروجی مدل مرجع احیاء می شوند در حالیکه در سیستمهای ST پارامترها برای مینیمم سازی خطای جفت سازی داده در اندازه گیری ورودی-خروجی احیاء خواهند شد. اما با مقایسه شکل­های (۲-۱) و (۲-۲) متوجه خواهیم شد که هر دو سیستم یک حلقه داخلی برای کنترل و یک حلقه خارجی برای تخمین پارامتر دارند. همچنین این دو روش از نظر آنالیز و اجرا کاملاً متفاوت می­باشند. کنترلرهای ST منعطف­ترند ، چون امکان اتصال کنترلرهای مختلف با تخمین­گرهای مختلف در آن وجود دارد(یعنی تفکیک کنترل و تخمین) اما تضمین پایداری و همگرایی کنترلرهای ST بسیار مشکل بوده و اغلب به سیگنال­هایی به اندازه کافی توانمند در سیستم نیاز دارد بطوریکه پارامترهای تخمین زده شده به پارامترهای حقیقی همگرا شوند. اگر سیگنال­ها خیلی توانمند نباشد (برای مثال ، اگر سیگنال مرجع صفر یا ثابت باشد.) ممکن است پارامترهای تخمین زده شده به پارامترهای حقیقی میل نکنند و پایداری و همگرایی سیستم کنترل منتج تضمین نشود. در این حالت باید یا سیگنالهای اختلال در ورودی معرفی شوند یا به طریقی قانون کنترل اصلاح شود.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

درصورتیکه در سیستم­های MRAC ،پایداری و همگرایی خطای ردیابی مستقل از ناتوانی سیگنال­ها تضمین می شود. معمولاً سیستم­های MRAC در شکل زمان پیوسته و تنظیم کننده­ های ST در شکل زمان گسسته در نظر گرفته می شوند اما در سال­های اخیر نوع زمان گسسته کنترلرهای MRAC و زمان پیوسته کنترلرهای ST نیز توسعه یافته است. در این قسمت ما اکثراً برروی سیستم­های MRAC در شکل پیوسته متمرکز می شویم.
۲-۲-۴ کنترل تطبیقی سیستم مرتبه اول غیرخطی
روش­های مشابه طراحی کنترل تطبیقی می تواند برای طرح مرتبه اول غیرخطی توصیف شده توسط معادله دیفرانسیل زیر مورد استفاده قرار گیرد:
(۲-۱)
که f هر تابع غیرخطی معلوم است. عبارت غیرخطی در این دینامیک­ها توسط پارامترسازی خطی­اش بر حسب ثابت مجهول c توصیف می شود. ما ابتدا قانون کنترل زیر را انتخاب می کنیم:
(۲-۲)
که عبارت دومی با قصد حذف عبارت غیر­خطی به طور تطبیقی مطرح شده است. با جایگزین کردن این قانون کنترل به داخل دینامیک­های (۲-۱) و با تفریق معادله منتج توسط ما دینامیک­های خطا را بصورت زیر بدست خواهیم آورد:

که پارامتر خطای  تعریف می شود بصورت:

با انتخاب قانون تطبیق:
(۲-۳a)
(۲-۳b)  (۲-۳c)  می توان به طور مشابه نشان داد که خطای ردیابی e به صفر همگراست و خطای پارامتر محدود باقی خواهد ماند. برای همگرایی پارامتر، دلایل مشابه همانند قبل می­توانند رفتار همگرایی پارامترهای تخمین زده شده را آشکار سازند. برای ورودی مرجع ثابت  ، پارامتر های تخمین زده شده به خط همگرا هستند. (با  ثابت به نام گین d.c مدل مرجع):

که یک خط راست در فضای پارامتری ۳ بعدی است.
به منظور همگرا شدن پارامترها به مقادیر مرجع، بردار سیگنال  باید به اصرار تحریک شود، یعنی، ثابت­های مثبت  وجود داشته باشند چنانچه برای هر زمان  ،

به طور کلی برای سیستم­های خطی، تخمین همگرایی mپارامتر نیاز به حداقل  در سیگنال مرجع r(t) دارد ولی برای موارد غیر­خطی، چنین رابطه ساده­ای نمی­تواند درست باشد. معمولاً، رابطه کیفی بین V(t) , r(t) به توابع غیر­خطی ویژه f(y) بستگی دارد. به درستی مشخص نیست که چطور بسیاری از Sinusoids در r(t) برای تضمین تحریک مصرانه V(t) ضروری است.
۲-۳ خطی‌سازی فیدبک
۲-۳-۱ مقدمه
خطی‌سازی فیدبک شیوه‌ای برای طراحی کنترل غیر‌خطی است که توجه زیادی را در سال‌های اخیر به خود جلب کرده است. ایده اصلی شیوه، انتقال جبری دینامیک‌های سیستم غیر‌خطی به یک دینامیک خطی به طور جزیی یا کامل است، بطوریکه تکنیک‌های کنترل خطی بتوانند به آن اعمال شوند. این شیوه به طور کلی از خطی‌سازی سنتی (یعنی خطی‌سازی ژاکوبین) که در آن خطی‌سازی فیدبک توسط انتقال دقیق حالت و فیدبک تا اندازه‌ای بوسیله تقریب‌های خطی دینامیک‌ها بدست می‌آید متفاوت است. این شیوه ایده‌ی ساده‌سازی دینامیک‌های سیستم را توسط انتخاب یک نمایش حالت متفاوت انجام می‌دهد یعنی تکنیک‌های خطی‌سازی فیدبک می‌توانند بعنوان روشی برای انتقال مدل سیستم اصلی به یک مدل معادل ساده‌تر به کار آیند. بنابراین آن‌ها می‌توانند در توسعه کنترلرهای غیر‌خطی تطبیقی یا تنومند نیز مورد استفاده باشند. این روش در بعضی مسائل کنترل عملی همچون کنترل هلیکوپترها، هواپیما اجرا بالا، روبات‌های صنعتی و وسایل پزشکی نیز استفاده می‌شود.
۲-۳-۲ ابزارهای ریاضی
جهت فرمول‌سازی و کلی‌سازی مفهوم‌های مستقیم برای یک کلاس وسیعی از سیستم‌های غیرخطی ما نخست تعدادی ابزارهای ریاضی را از توپو‌لوژی و هندسه دیفرانسیل معرفی می‌کنیم. در توصیف کردن این ابزارهای ریاضی، ما تابع برداری  را یک میدان برداری در  می‌نامیم تا سازگار با اصطلاحاتی باشد که در هندسه دیفرانسیل استفاده می‌شود. دلیل غیر‌استدلالی برای این اصطلاح این است که هر تابع برداری f متناظر با یک میدان از بردارها در یک فضای n بعدی است. در این قسمت، ما فقط به میدان‌های برداری هموار علاقمند هستیم. با هموار بودن میدان برداری، ما می‌توانیم در نظر بگیریم که تابع f(x) مشتق جزیی پیوسته در هر مرتبه مورد نیاز دارد. با معین کردن تابع اسکالر هموار h(x) از حالتx، گرادیان h توسط  نشان‌ داده می‌شودکه داریم:

گرادیان بصورت یک بردار با عناصر  نمایش داده می‌شود. بطور مشابه، با معین کردن میدان برداری f(x)، ژاکوبین fنشان داده می‌شود بصورت  که:

ژاکوبین بوسیله‌ی یک ماتریس n  n از عناصر  نمایش داده می شود.
۲-۳-۲-۱ براکتها و مشتق
فرض کنید که f(x) یک میدان برداری و h(x) یک تابع اسکالر باشد، آنگاه تابع اسکالر جدید  ، مشتق h با توجه f نامیده می شود.
تعریف ۲-۱- فرض کنید  یک تابع اسکالر هموار و  یک میدان برداری هموار در  باشند، آنگاه مشتق h با توجه fیک تابع اسکالر تعریف شده بصورت  می‌باشد.
بنابراین مشتق  ، مشتق جهتی h در طول مسیر بردار f است. همچنین داریم:

به طور مشابه،اگر g یک میدان برداری دیگر باشد، سپس تابع اسکالر  است:

به آسانی می‌توان وابستگی مشتق‌ها را با سیستم‌های دینامیکی دید، حال سیستم تک خروجی زیر را در نظر بگیرید:

مشتق‌های خروجی عبارتند از:

اگر V کاندیدای تابع لیاپانو برای سیستم باشد، مشتق آن  می‌تواند بصورت  نوشته شود.
۲-۳-۳ خطی‌سازی ورودی- خروجی سیستم‌های SISO^[8]
در این قسمت‌ها خطی‌سازی ورودی- خروجی سیستم‌های غیرخطی تک ورودی توصیف شده توسط نمایش فضای حالت زیر را بحث خواهیم کرد: