فرض کنید المان سمت راست در شکل ۴-۶ المانی ایزوپارامتریک می­باشد.اگر بتوانیم این المان در دستگاه مختصات x وy(مختصات هندسی) را تبدیل به المانی مستطیلی با ابعاد شکل سمت چپ در دستگاه مختصات  و  (مختصات طبیعی) بکنیم، می­توانیم به راحتی معادلات مربوط به آن را حل کنیم. مهم­ترین فرض در این المان­ها این می­باشد که نه تنها متغیر مورد نظر بلکه مختصات ما نیز بصورت تابعی از تابع شکل و مختصات گوشه­های المان می­باشد. یعنی
۴-۳۵
۴-۳۶
۴-۳۷

برای انتقال مختصات به  نیاز به روابط زیر داریم

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

یا  ۴-۳۸
در جایی که برای یک المان مستطیلی ۴ نقطه­ای
۴-۳۹
۴-۴۰

همانطور که می­دانیم برای محاسبه ماتریس Bنیاز به  داریم.، پس از معادله آن را بدست می­آوریم.
۴-۴۱
[j]^-1ماتریس معکوس ژاکوپین می­باشد. حال می­توانیم ماتریس B را محاسبه کنیم.
۴-۴۲
حال با داشتن ماتریس B میتوانیم از روی تغییر مکان­ها، کرنش­ها و تنش­ها را محاسبه کنیم]۳۵[.
۴-۴- انتگرال عددی گوسین^[۴۷]:
همانطور که می­دانیم انتگرال­گیری عضو جدایی ناپذیر روش اجزای محدود است، چه در بحث محاسبه ماتریس سختی و چه در بحث محاسبه­ی نیروهای معادل گرهی. در بسیاری از قسمت ­ها ممکن است انتگرال را بشود با روش­های تحلیلی محاسبه کرد اما در روش اجزای محدود که تعداد انتگرال­ها زیاد و پیچیده است، این روش دیگر کارآمد نیست و به جای آن از روش انتگرال عددی گوسین استفاده می­کنیم.در این بخش ابتدا بر روی انتگرال عددی گوس در یک بعد بحث کرده و آن را برای دو بعد، بسط می­دهیم]۲۵[.
این روش یک روش تقریبی عددی برای انتگرال­های پیچیده است.بر فرض اگر ما انتگرالی به شکل معادله ۴-۱۱ داشته باشیم با تغییر متغیر  می­توانیم آنرا به فرم معادله۴-۱۲ بنویسیم.
۴-۴۳
۴-۴۴
حال می­توانیم انتگرال معادله را به فرم ساده­شده ۴-۱۳ بنویسیم.
۴-۴۵ که در آن  توابع وزنی گوسین و  مقادیر معلوم به نام نقاط گوس وm درجه تقریب می­باشد. در جدول ۴-۱ لیست کاملی از مقادیر نقاط گوس و توابع وزنی متناظر برای درجات مختلف تقریب آورده شده است.
جدول۴-۱-مقادبر توابع وزن و نقاط گوسین برای تقریب­های درجه ۱ تا ۴

انتخاب درجه تقریب، بستگی به توان تابع مورد نظر دارد و هرچه درجه تقریب ما بالاتر باشد دقت تقریب انتگرال­گیری بیشتر است.
برای انتگرال ۲ بعدی نیز روند به همین صورت است فقط باید مطابق معادله ۴-۱۴ برای هر متغیرمرحله به مرحله پیش برویم.
۴-۴۶
برای المان ایزوپارامتریک ۴ نقطه­ای،تقریب گوس ۲*۲ دقت کافی را دارا می­باشد.
همانطور که اشاره شد برای محاسبه ماتریس سختی، ما نیاز به تقریب گوس داریم.به طور مثال برای یک المان مستطیلی ۴ نقطه­ای نحوه­ محاسبه ماتریس سختی مطابق معادله ۴-۱۵ می­باشد.
۴-۴۷
به طور مثال اگر i=j=2 در این صورت ما برای هر ۴ نقطه داخل هر المان می­توانیم ماتریس B، ماترسی سختی، تنش، کرنش و تغییر مکان را داشته باشیم.

شکل۴-۱۱- نمونه ­ای از المان ایزوپارامتریک ۴ نقطه­ای در مختصات واقعی به همراه مکان نقاط گوس درجه ۲ و۳
۴-۵- روش­های تکرار برای حل معادلات غیر خطی:
یکی از مهمترین تفاوت­های تحلیل الاستو پلاستیک و تحلیل الاستیک، تفاوت در شیوه­ حل معادلات آنها می­باشد. در تحلیل الاستیک شیوه حل معادلات خطی می­باشد در حالی که حل معادلات الاستو پلاستیک با توجه به غیر خطی بودن منحنی تنش- کرنش، نیازمند استفاده از روش­های غیر خطی می­باشد. در نتیجه در این بخش مروری بر روش­های حل معادلات غیر خطی می­کنیم.
استفاده از روش اجزای محدود در گروه بسیار زیادی از مسائل غیر خطی منجر به یکسری معادلات به فرم زیر می­ شود.
۴-۴۸
که در آن  برداری از مجهولات و  برداری از بارهای اعمال شده و  ماتریس سختی کل می­باشد. در بسیاری از مسائل ماتریس­های سختی و بار به طور مستقیم قابل کاربرد می­باشند اما در بسیاری از مسائل با توجه به شرایط مسئله مقادیر این ماتریس­ها تغییر می­ کنند. اگر ماتریس ضرایب  به ماتریس مجهولات  بستگی داشته باشد، در این صورت حل مستقیم معادله ۴-۴۸ غیر ممکن است و یک روش تکراری(سعی و خطا) مورد نیاز است. روش­های تکرار شونده­ی بسیاری وجود دارند که در ادامه به مهمترین آنها اشاره می­ شود.
۴-۵-۱- روش تکرار شونده­ی مستقیم^[۴۸]( تخمین پی در پی):
در این روش حل پی­در­پی انجام می­گیرد و هر یک از حل­های قبلی برای ماتریس مجهولات  ، برای پیش بینی مقادیر حال حاضر ماتریس ضرایب بکار ­می­رود یعنی
۴-۴۹ پس برای  تخمین داریم.
۴-۵۰
اگر روند همگرا باشد بنابراین در تلاش r مقدار  بینهایت به جواب واقعی نزدیک می­گردد. همانطور که از معادله پیداست در هر تلاش نیاز به دوباره محاسبه ماتریس سختی  می­باشد.برای شروع این روند نیاز به یک حدس اولیه برای مقادیر مجهولات  به منظور محاسبه ماتریس سختی مورد نیاز است. در کل یک مقدار اولیه  که در محدوده­ جواب نهایی باشد مورد نیاز است. روند تکرار هنگامی همگرا در نظر گرفته می­ شود که تغییرات در مقادیر  در دو تلاش متوالی بسیار اندک وناچیز گردد. در شکل ۴-۹ رابطه  و  نشان داده شده است. شکل مسیر همگرایی برای مقدار اولیه  که کمتر از مقدار درست نهایی  است، نشان می­دهد. از مقدار اولیه  مقدار متناظر  را از رابطه  که همان  است را استخراج می­کنیم. حال معادله حل شده و مقدار  بدست می ­آید. حال مقدار ماتریس سختی متناظر با آن یعنی  بدست آمده و با حل معادله مقدار  بدست می ­آید. این چرخه ادامه پیدا می­کندتا  و  بسیار نزدیک هم گردند در این صورت همگرایی اتفاق افتاده است. مقدار  بوسیله­ی شیب نمودار  بدست می ­آید و با افزایش  کاهش پیدا می­ کند.
مهمترین مشکل این روش این است که همگرایی جواب قابل تضمین نیست و در مراحل اولیه قابل پیش بینی نیست.

شکل۴-۱۲-روش تکرار مستقیم برای مسئله یک متغیره]۲۳[
۴-۵-۲- روش نیوتن رافسون:
به طور کلی روش نیوتن سریعتر از روش های تکراری دیگر نظیر نصف کردن یا وتری می باشد.زیرا همگرایی آن فوق خطی و از مرتبه دوم است به محض آنکه همگرایی مؤثر واقع گردد یعنی مقادیر دنباله روش نیوتن به اندازه کافی نزدیک به ریشه واقعی باشند همگرایی به قدری سریع می باشد که فقط چند جمله دیگر از دنباله ، مورد نیاز خواهد بود .اما متأسفانه این روش همیشه همگرایی را تضمین نمی کند . غالبا اًین روش را با سایر روش های کندتر در یک پیوند ترکیبی به کار می گیرند تا از لحاظ عددی جامع همگرا گردد.
هر مرحله از روند تکرار حل روش تخمین پی در پی به جواب نخواهد رسید مگر اینکه همگرایی اتفاق افتاده باشد. سیستمی از نیروهای باقی­مانده می­توانند مطابق رابطه وجود داشته باشد.
۴-۵۱
این نیروهای باقی­مانده می­توانند به عنوان معیاری برای دقت هر مرحله تفسیر گردند. از آنجا که H تابعی از  می­باشد در نتیجه تابع باقی مانده نیز تابعی از  می­باشد یعنی
۴-۵۲