(۲۱-۲a)
(۲۱-۲b)
که در آن از معادله‌ی  استفاده شده است.
مطالعه‌ی معادله‌ی (۲۰-۲) برای تنوعی از حالت‌های مختلف فرکانس، نسبت به فرکانس برخورد γ جالب توجه است. در این جا ما خود را به فرکانس‌های ω<ω_p محدود می‌کنیم که در آن فلزات، ویژگی فلزی خودشان را حفظ می‌کنند. برای فرکانس‌های بزرگ‌تر نزدیک به ω_p ،  ، منجر به میرایی بسیار جزیی می‌شود، در این جا (ω)ε حقیقی است و

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۲۲-۲)
می‌تواند به عنوان تابع دی‌الکتریک پلاسمای الکترون آزاد نامیرا در نظر گرفته شود. رفتار فلزات نجیب در این ناحیه فرکانسی، کاملاً با انتقال‌های میان باندی جایگزین شده است که منجر به افزایش ε_۲ می‌گردد. در فرکانس‌های بسیار پایین که  است،  و بخش حقیقی و موهومی ضریب شکست مختلط با مقدار
(۲۳-۲)
داده می‌شود. در این ناحیه، فلزات عمدتاً جاذب و دارای یک ضریب جذب زیر هستند.
(۲۴-۲)
با وارد کردن رسانندگیdc،  این عبارت می‌تواند با بهره گرفتن از به معادله‌ی زیر تبدیل گردد:
(۲۵-۲)
کاربرد قانون جذب بیر اشاره می‌کند که برای فرکانس‌های پایین، میدان‌ها به صورت  درون فلز، کاهش می‌یابند که در آن δ عمق لایه است که از معادله‌ی زیر به دست می‌آید:
(۲۶-۲)
بحث جدی‌تر در مورد رفتار فرکانس پایین، بر اساس معادله‌ی بولتزمن]۲۱[ نشان می‌دهد که این تعریف تا وقتی حقیقتاً معتبر است که  مسافت آزاد میانگین الکترون‌ها که در آن، v_F سرعت فرمی است.
در فرکانس‌های بالاتر که  ضریب شکست مختلط، به طور عمده موهومی است، (که منجر به ضریب انعکاس  می‌گردد]۲۱[ و σ ماهیت بسیار پیچیده‌تری پیدا می‌کند و مرز بین بارهای الکتریکی محدود و آزاد را نامشخص‌تر می‌کند. بر حسب واکنش اپتیکی (ω)σ به علت قرارداد تقسیم بین مجموعه‌های بسته و باز بحث شده‌ی مذکور، عبارت‌ها را فقط در ترکیب معادله‌ی (۱۰-۲) وارد می‌کند]۲۲[.
نظر به این که تعریف حول و حوش این نقطه، یک فلز الکترون آزاد ایده‌آل فرض می‌گردد، به طور خلاصه این مدل را با مثالی از یک فلز حقیقی مهم در حوزه‌ی پلاسمونیک‌ها، مقایسه می‌کنیم. در مدل الکترون آزاد، در  می‌رود. برای فلزات نجیب (مثل طلا و نقره و مس)، بسط این مدل در ناحیه‌ای که  باشد، ضروری است (جایی که واکنش از طریق الکترون‌های S آزاد چیره می‌شود) زیرا باند d پر شده نزدیک به سطح فرمی باعث ایجاد یک محیط با قطبش بالا می‌گردد. این قطبش باقی‌مانده به علت پس زمینه‌ی مثبت هسته‌های یونی می‌تواند با افزودن عبارت  به معادله‌ی (۲-۲) که در آن، اکنون P منحصراً نشان‌دهنده‌ی قطبش معادله‌ی (۱۸-۲) به سبب الکترون‌های آزاد می‌باشد، توصیف گردد. بنابراین، این تأثیر با یک ثابت دی‌الکتریک ε_∞ (که معمولاً  ) توصیف گردد و از این رو می‌توانیم بنویسیم:
(۲۷-۲)
حدود اعتبار تعریف الکترون آزاد معادله (۲۷-۲) برای طلا در شکل (۲-۱) نشان داده شده است.

شکل ۱-۲ تابع دی الکتریک  معادله (۲-۲۷) گاز الکترون آزاد (خطوط پیوسته) برازش شده بر مقادیر داده های دی الکتریک برای طلا (نقاط). انتقال های میان باندی، اعتبار این مدل را به فرکانس های مرئی و بالاتر از آن محدود می سازند.

شکل ۲-۲ ضریب شکست مختلط متناظر با تابع دی الکتریک الکترون آزاد در شکل ۱-۲
این شکل مؤلفه‌های حقیقی و موهومی ε_۱ و ε_۲ را برای یک تابع دی‌الکتریک از این نوع نشان می‌دهد که با تابع دی‌الکتریک به دست آمده‌ی طلا که به طور تجربی به دست آورده شده است مطابقت دارد]۲۳[. به وضوح، در فرکانس‌های مرئی کاربرد مدل الکترون آزاد، تحت تأثیر قرار می‌گیرد به علت این که انتقالات میان باندی منجر به افزایش در ε_۲ می‌گردد. مؤلفه‌های ضریب شکست مختلط متناظر با تطبیقات ارائه شده در شکل (۲-۱) در شکل ۲-۲ نشان داده شده‌اند.
پیوند تابع دی‌الکتریک الکترون آزاد پلاسمای معادله (۲۰-۲) با مدل کلاسیک درود^[۲]]۲۴[، برای رسانندگی AC، (ω)σ فلزات آموزنده خواهد بود، که این امر می‌تواند با شناخت این که معادله‌ی (۱۶-۲) می‌تواند به صورت زیر بازنویسی گردد، حاصل شود:
(۲۸-۲)
که در این معادله  گشتاور و یک الکترون آزاد منفرد است. با استدلال مشابه در عبارت بعدی برای رسانندگی AC ،  به معادله‌ی زیر می‌نویسیم:
(۲۹-۲)
با مقایسه معادلات (۲۰-۲) و (۲۹-۲) معادله زیر را به دست می‌آوریم:
(۳۰-۲)
از این رو تابع دی‌الکتریک گاز الکترون آزاد (۲۰-۲) هم‌چنین به عنوان مدل درود واکنش اپتیکی فلزات شناخته می‌شود]۲۵[.
۲-۷- انتشار گاز الکترون آزاد و پلاسمون حجمی
حال به تعریفی از حالتی که  در مدل گاز الکترون آزاد که تا این جا از قلم انداخته شده بود می‌پردازیم. با بهره گرفتن از (۲۲-۲) در (۱۴-۲) رابطه‌ی انتشار امواج سیار، با معادله زیر داده می‌شود:
(۳۱-۲)
طبق این رابطه برای یک فلز الکترون آزاد نوعی، برای  انتشار امواج الکترومغناطیسی عرضی به درون پلاسمای فلز ممنوع است. برای  پلاسما با یک سرعت گروه  انتشار امواج عرضی را پشتیبانی می‌کند.
اهمیت فرکانس پلاسمای ω_p می‌تواند با دانستن این که در حد میرایی کوچک  (برای K=0) بیش‌تر توضیح داده شود. پس این برانگیختگی می‌باید متناظر بایک حالت طولی تجمعی باشد همان‌طور که در بحث منتج به (۱۰-۲) نشان داده شد. در این حالت  می‌بینیم که در فرکانس پلاسما، میدان الکتریکی، یک میدان غیر قطبشی خالص با  است.

شکل ۳-۲ ارتعاشات تجمعی طولی الکترون های رسانش فلز : پلاسمون حجمی
اهمیت فیزیکی برانگیختگی در ω_p می‌تواند با توجه به نوسان طولی جمعی گاز الکترون رسانش در زمینه‌ی مثبت ثابت هسته‌های یونی در یک ورقه‌ی پلاسما درک شود. همان‌طور که در شکل ۳-۲ نشان داده شده است، جابجایی جمعی الکترون می‌تواند با یک فاصله‌ی u به یک چگالی بار الکتریکی سطحی =±neuσ در مرزهای ورقه، منجر گردد که این یک میدان الکتریکی همگن با  در ورقه را به وجود می‌آورد. بنابراین الکترون‌های جابجا شده، یک نیروی بازگرداننده را تجربه می‌کنند و حرکتشان می‌تواند به کمک معادله‌ی جنبش  تشریح گردد، با جای‌گذاری این عبارت برای میدان الکتریکی، معادله‌ی زیر به دست می‌آید:
(۳۲-۲a)
(۳۲-۲b)  بنابراین، فرکانس پلاسمای ω_p می‌تواند به عنوان فرکانس طبیعی یک ارتعاش آزاد دریای الکترون، شناخته شود. در این جا مشتق‌گیری بر آن فرض است که تمام الکترون‌ها در فاز، حرکت می‌کنند از این رو ω_p متناظر با فرکانس ارتعاش در حد طول موج بلند است که در آن K=0 می‌باشد. کوانتوم‌های این نوسانات بارهای الکتریکی، پلاسمون نامیده می‌شود. (یا پلاسمون حجمی، برای تمایز آن‌ها از پلاسمون‌های سطحی). به علت ماهیت طولی برانگیختگی، پلاسمون حجمی با امواج الکترومغناطیسی عرضی جفت نمی‌شود و صرفاً می‌تواند با برخورد ذرات، برانگیخته شود، نتیجه دیگر آن است که از بین رفتن آن‌ها فقط به وسیله‌ی انتقال انرژی به الکترون‌های منفرد رخ می‌دهد، فرآیندی که به عنوان میرایی لاندا^[۳] شناخته می‌شود.
به طور تجربی، فرکانس پلاسمای فلزات، از طریق آزمایشات طیف‌نگاری اتلاف الکترون، که در آن الکترون‌ها از ورقه‌های فلزی نازک عبور داده می‌شوند، تعیین می‌گردند. برای اکثر فلزات این فرکانس پلاسما در ناحیه فرابنفش قرار دارد: بسته به جزئیات ساختار باند، ω_p تقریباً ۵-۱۵eV است]۲۶[. چنین نوسانات طولی، هم‌چنین می‌توانند در دی‌الکتریک‌ها نیز برانگیخته شوند که در این مورد، الکترون‌های ظرفیت به طور تجمعی نسبت به هسته‌های یون ارتعاش می‌کنند. علاوه بر نوسان هم فاز در ω_p، یک طبقه‌ی کلی از نوسانات طولی در فرکانس‌های بالاتر با بردارهای موج محدود وجود دارد که برای هر کدام معادله (۱۵-۲) برآورده می‌شود. حدود مرتبه‌ی دوم درK معادله‌ی زیر است:
(۳۳-۲)
که در آن E_F انرژی فرمی است.
۲-۸- فلزات و گذارهای میان باندی
پیش از این بیان شد که تابع دی‌الکتریک (۲۰-۲) مدل درود، واکنش اپتیکی فلزات را صرفاً برای انرژی‌های فوتون زیر آستانه‌ی انتقال‌های میان باندهای الکترونی به خوبی توصیف می‌کند. برای برخی از فلزات نجیب، تأثیرات میان باندی، پیش از این برای انرژی‌های متجاوز از آن l ev (متناظر با طول موج  ) شروع به رخ دادن می‌کند. مطابق شکل‌های ۲-۱ و ۲-۴ بخش‌های حقیقی و موهومی  و  تابع دی‌الکتریک، برای طلا و نقره نشان داده شده است]۲۶[ و معلوم می‌دارد که مدل درود با این داده‌ها مطابقت دارد.

شکل ۴-۲ قسمت های حقیقی و موهومی  برای نقره تعیین شده توسط جانسون و کریستی(نقاط)، و یک مدل درودی که بر این داده ها برازش شده است.