می‌دانیم که  بازدهی یک واحد سرمایه نسبت به قیمت بازاری را تشکیل می‌دهد. واریانس این مقدار را می‌توان از عبارت زیر محاسبه کرد.
(۴۳-۳)
اثبات می‌شود که اگر رابطه زیر برقرار باشد، جوابی که برای معادله(۴۰-۳) به دست می‌آید، جوابی متناهی خواهد بود^[۴۸].

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۴۴-۳)
تحمیل قید بازگشت‌ناپذیری سرمایه‌گذاری و تفریق هزینه‌سرمایه‌گذاری می‌تواند ارزش بنگاه را کاهش دهد.
نکته: اگر قاعده سرمایه‌گذاری بیابیم که شرایط معادلات (۴۲-۳) را تأمین کند، در تمامی‌زمان‌ها، آن قاعده یک جواب یگانه برای مسأله بهینه‌یابی خواهد بود.
طبق تئوری کان-تاکر، یگانه بودن سیاست بهینه سرمایه‌گذاری از محدب بودن تابع ارزش فعلی بنگاه یعنی زمانی‌که سرمایه‌گذاری مثبت است، به دست می‌آید. محدب بودن V^*،‌ به محدب بودن K_tبستگی دارد. ارزش بنگاه از انتگرال جریان وجوه در هر لحظه از زمان ( با در نظر گرفتن تابع چگالی توزیع مشترک Z_t، P_t و K_t ) به دست می‌آید. برای اثبات محدب بودن V^* کافی است نشان دهیم که K_t و dX_τ درمقادیر غیرفزاینده است. از آنجایی که شرط برگشت‌ناپذیری کاهش مقدار سرمایه را رد می‌کند، اثبات می‌شود که مقدار K_t و dX_τ غیر منفی است. برای دستیابی به سیاست کنترل بهینه سرمایه‌گذاری در شرایط بازگشت‌ناپذیری سرمایه، به علت وجود شرایط عدم اطمینان که بوسیله فرایند تصادفی درآمد نهایی سرمایه وارد می‌شود، اثبات می‌شود که بنگاه‌ها اجازه نمی‌دهند تا درآمد نهایی سرمایه بیشتر از درصدی از قیمت بازاری سرمایه شود.
(۴۵-۳)
در معادلات فوق C به صورت زیر تعریف می‌شود.
(۴۶-۳)
در نمودار زیر نمودار C به عنوان تابعی از σ برای مقادیر مختلف β نمایش داده شده است که مقدار سایر متغیرها ثابت فرض شده است.
C
=-۰٫۰۶
=  -۰٫۰۴
-۰٫۰۲
۰٫۲۰
= -۰٫۰۸
۰٫۱۸
۰٫۱۶
σ
۰٫۲۲
۰٫۱۸
۰٫۱۴
۰٫۰۹
۰٫۰۵
این روند نشان می‌دهد که هر‌چه نااطمینانی‌ها (σ) افزایش می‌یابد، بنگاه‌ها برای سرمایه‌گذاری بی‌میل‌تر می‌شوند. به عبارت دیگر هر چه واریانس ارزش بنگاه افزایش می‌یابد، مقدار C ( عامل تعدیل سرمایه‌گذاری در شرایط عدم بازگشت‌پذیری سرمایه) افزایش می‌یابد و با توجه به معادله (۱۲٫۱) هر چه C افزایش می‌یابد، مقدار تغییرات ارزش بنگاه به ازای افزایش یک واحد سرمایه (طرف چپ معادله) باید با مقدار بزرگتری از ارزش بازار تنزیل شده سرمایه( طرف راست معادله) برابر باشد تا سرمایه‌گذاری بیشتر انجام گیرد ( یعنی dX_t>0 شود). این موضوع به معنی اثر منفی نااطمینانی در شرایط عدم بازگشت‌پذیری سرمایه بر میزان سرمایه‌گذاری محسوب می‌شود.

۲-۳-۳) تأثیر نااطمینانی بر زمان سرمایه‌گذاری^[۴۹]:

بر طبق مدل متعارف انتخاب^[۵۰] یک بنگاه اختیار دارد در یک پروژه که ارزش کل آن v(t) است، سرمایه‌گذاری کند. تغییر ارزش کل این پروژه در طول زمان بر اساس حرکت براونی^[۵۱] به صورت زیر تعریف می‌شود:
(۴۷-۳)
W(t) فرایند حرکت بروان است و α نرخ رانش^[۵۲] ( نرخ رشد انتظاری) و σ نوسانات ( انحراف معیار)‌ برای هر واحد در طول زمان است که فرض می‌شود  است^[۵۳]. بنگاه می‌تواند در هر لحظه از زمان با پرداخت هزینه سرمایه‌گذاری (I) پروژه را شروع کند. ارزش اولیه پروژه با V₀ نشان داده می‌شود.
فرض می‌شود که نرخ جایگزینی ریسک در مدل توسط مدلCAPM^[54] تعیین می‌شود. ارزش بازار هر واحد از پروژه برابر P_m است که از حرکت براونی تبعیت می‌کند به طوری که:
(۴۸-۳)
Z_m(t) در این معادله یک فرایند حرکت براونی است که با W(t) دارای ارتباط است. _mμ و _mσ به ترتیب نرخ رانش و انحراف معیار در هر واحد زمان می‌باشند. اگر r را به عنوان نرخ بهره بدون ریسک در نظر بگیریم، قیمت بازاری ریسک به صورت زیر محاسبه می‌شود.
(۴۹-۳)
رابطه (۴۷-۳) را می‌توان به صورت زیر نوشت.
(۵۰-۳)
در این معادله Z(t) فرایند حرکت براونی متغیر Z_m(t) است و ρ عددی بین صفر و یک است که ضریب همبستگی میان ارزش بنگاه V(t) و بازدهی بازار برای پروژه P_m را نشان می‌دهد. در معادله فوق ρ^۲σ^۲ ریسک سیستماتیک و (۱-ρ^۲) σ^۲ ریسک تصادفی را اندازه‌گیری می‌کند. بر اساس مدل CAPM هزینه جایگزینی سرمایه‌گذارای لازم شروع پروژه برابر r + λρσ است. اگر F(V₀) را ارزش حال سرمایه‌گذاری اولیه در نظر بگیریم، از آنجایی که هزینه‌ای شروع پروژه برابر V(t)-I است،سود انتظاری حاصل از سرمایه‌گذاری در زمان t^* برابر با تفاضل ارزش حال انتظاری سرمایه‌گذاری در زمان t^* از ارزش سرمایه‌گذاری اولیه می‌شود که بنگاه سعی دارد آن را حداکثر کند. با تو جه به نوسانی بودن تغییرات ارزش سرمایه‌گذاری، جهت پوشش ریسک، قید نوسانی بودن بازدهی‌ها نیز بر تابع حداکثر سازی تحمیل می‌شود. بر این اساس :
(۵۱-۳)
S.t:  (۵۲-۳)
زمان مطلوب برای سرمایه‌گذاری(t^*) معادل محاسبه مقدار ارزش نهایی مطلوب پروژه (V^*) است که برابر با مقدار ارزش پروژه باشد. برای اطمینان از اینکه V^* متناهی باشد،‌ فرض می‌شود که  باشد. این فرش با داده‌های تجربی سازگار می‌باشد به گونه‌ای که رشد تصادفی ارزش سرمایه‌گذاری کمتر از نرخ پوشش بدون ریسک است. در غیر این صورت افزایش سرمایه‌گذاری انفجاری خواهد بود.
می‌توان اثبات کرد که ارزش سرمایه‌گذاری اختیاری در هر لحظه از زمان F[V(t)] از حل معادله دیفرانسل زیر بدست می‌آید.
(۵۳-۳)
که معادله فوق توسط قیود زیر محدود می‌شود:
معادلات (۵۴-۳)
قید اول نشان می‌دهد که در معادله (۴۷-۳) عدد صفر حداقل مقدار در حرکت براونی است. قید دوم تعریف فرم تبعی در هر لحظه از زمان است و قید آخر بیان کننده این است که با افزایش سرمایه‌گذاری ارزش پروژه نیز به همان میزان افزایش یابد.